小明在学习三角形知识时.发现如下三个有趣的结论:在Rt△ABC中.∠A＝90°.BD平分∠ABC.M为直线AC上一点.ME⊥BC.垂足为E.∠AME的平分线交直线AB于点F． (1)如图①.M为边AC上一点.则BD.MF的位置关系是 , 如图②.M为边AC反向延长线上一点.则BD.MF的位置关系是 , 如图③.M为边AC延长线上一点.则BD.MF的位置关系是 , (2)请就图①.图� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．

（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是；

如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是；

如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是；

（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明.

解：（1）平行；垂直；垂直；

（2）选① 证明BD∥MF
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
          ∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°
          ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
          ∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，
          ∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，
        又∵∠AFM+∠AMF=90°，
          ∴∠ABD=∠AFM，
          ∴BD∥MF.

选② 证明BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
          ∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，
          ∴∠ABC=∠AME，
          ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
          ∴∠ABD=∠AMF，
          ∵∠ABD+∠ADB=90°，
          ∴∠AMF+∠ADB=90°
          ∴BD⊥MF.
选③ 证明BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
          ∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，
          ∴∠ABC=∠AME，
          ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
          ∴∠ABD=∠AMF，
          ∵∠AMF+∠F=90°，
          ∴∠ABD+∠F=90°，
          ∴BD⊥MF

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