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【题目】在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限.
(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;
(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由.

【答案】
(1)解:∵∠BPA=90°,PA=PB,

∴∠PAB=45°,

∵∠BAO=45°,

∴∠PAO=90°,

∴四边形OAPB是正方形,

∴P点的坐标为:( a, a)


(2)证明:作PE⊥x轴交x轴于E点,作PF⊥y轴交y轴于F点,

∵∠BPE+∠EPA=90°,∠EPB+∠FPB=90°,

∴∠FPB=∠EPA,

∵∠PFB=∠PEA,BP=AP,

∴△PBF≌△PAE,

∴PE=PF,

∴点P都在∠AOB的平分线上


(3)解:作PE⊥x轴交x轴于E点,作PF⊥y轴交y轴于F点,则PE=h,设∠APE=α.

在直角△APE中,∠AEP=90°,PA=

∴PE=PAcosα= cosα,

又∵顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),

∴0°≤α<45°,

<h≤


【解析】(1)当∠BAO=45°时,因为四边形ABCD是正方形,P是AC,BD对角线的交点,能证明OAPB是正方形,从而求出P点的坐标.(2)过P点作x轴和y轴的垂线,可通过三角形全等,证明是角平分线.(3)因为点P在∠AOB的平分线上,所以h>0.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识,掌握正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形,以及对解直角三角形的理解,了解解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法)

练习册系列答案
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【题目】在平面直角坐标系XOY中,直线l1过点A(1,0)且与y轴平行,直线l2过点B(0,2)且与x轴平行,直线l1与直线l2相交于点P.点E为直线l2上一点,反比例函数 (k>0)的图象过点E与直线l1相交于点F.
(1)若点E与点P重合,求k的值;
(2)连接OE、OF、EF.若k>2,且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍,求E点的坐标;
(3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在,求E点坐标;若不存在,请说明理由.

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【题目】如图,从⊙O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC.若∠A=26°,则∠ACB的度数为

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【题目】如图,直角三角形纸片ABC的∠C为90°,将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开,然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形,下列选项中不能拼出的图形是(
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.直角梯形

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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE垂直平分ABBC于点E,BE=4,则AC长为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 以上都不对

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【题目】填写理由:

如图所示,

因为DFAC(已知),

所以D+______=180°(__________________________)

因为C=D(已知),

所以C+_______=180°(_________________________)

所以DBEC(_________).

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【题目】如图①,小慧同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上.OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1处;小慧又将三角形纸片AO1B1 , 绕点B1按顺吋针方向旋转 120°,此时点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处). 小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转的过程中.顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即 ,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.
小慧进行类比研究:如图②,她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上,0A边与直线l2重合,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B2处,小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°,….按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题:
问题①:若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转,求顶点0经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积;若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转.求顶点O经过的路程;
问题②:正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点0经过的路程是

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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.
(1)当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;
(2)已知⊙O为△ABC的外接圆.若⊙P与⊙O相切,求t的值.

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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,BC交⊙O于点D,若∠C=70°,则∠AOD的度数为(
A.70°
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