Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝DC，AD＝2，BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD．

(1)写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；

(2)探究：当梯形ABCD的高DF等于多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE，见解析；(2)当 DF＝3 时，AC⊥BD，见解析.

【解析】

（1）与△DCE全等的三角形有：△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE，可以用全等三角形的判定方法来进行验证.

（2）需要根据已知条件及等腰梯形的性质，平行四边形的性质得出BF=FE=3，因为DF=3，则∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，从而推出∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，根据平行的性质得出∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD.

解：(1)△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE．

∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECD．

∵CE＝DA，DC＝CD，

∴△CDA≌△DCE．

(2)当 DF＝3 时，AC⊥BD．

理由如下：

∵AD∥BC，AB＝CD，∴AC＝BD．

∵AD∥BC，CE＝AD，∴四边形 ACED 为平行四边形

∴AC＝DE，∴BD＝DE．

∵DF＝3，∴DF＝BF＝EF．

∴∠DBF＝∠BDF＝45°，∠E＝∠EDF＝45°．

∴∠BDE＝90°．∴BD⊥DE．

∵AC∥DE，∴AC⊥BD．