Question

15． 如图，在平行四边形ABCD中，过点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=3，AD=2$\sqrt{3}$，AE=2，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质可知：AD∥CD，∠B=∠ADC，由平行线的性质可得到∠ADE=∠DEC，然后由三角形的外角和的性质和∠AFE=∠B可证明∠DAF=∠CDE，从而可得到△ADF∽△DEC；
（2）在Rt△AED中，由勾股定理先求得DE的长，然后由△ADF∽△DEC可求得AF的长．

解答 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠ADC．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC．
又∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠ADC．
∵∠AFE=∠ADF+∠DAF，∠ADF+∠EDC=∠ADC，
∴∠DAF=∠EDC．
∴△ADF∽△DEC．
（2）∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD．
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4．
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AF}{CD}$．
∴$\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{AF}{3}$．
解得：AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理，证得∠DAF=∠EDC是解题的关键．