Question

6．已知如图，△ABC为等边三角形，边长为a，点F是BC上任意一点，DF⊥AB，EF⊥AC
（1）当点F是BC中点时，DF=EF；（填“＜”“＞”“=”）
（2）求证：△BDF∽△CEF；
（3）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并写出S随m的变化情况．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AF是∠BAC的角平分线，由角平分线的性质可知DF=EF；
（2）由等边三角形的性质可知∠B=∠C=60°，根据题意可知∠FDB=∠FEC=90°，故此：△BDF∽△CEF；
（3）根据四边形ADFE面积为S的面积=△ABC的面积-△BFD的面积-△FCE的面积即可的出S与m的函数关系式．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，点F是BC中点，
∴AF是∠BAC的平分线．
又∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴DF=FE．
故答案为：=．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠FDB=∠FEC=90°．
∴△BDF∽△CEF．
（3）∵a=4，BF=m，
∴FC=4-m．
∴DB=$\frac{1}{2}m$，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}m$，EC=$\frac{1}{2}×（4-m）$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}（4-m）$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}×4$=4$\sqrt{3}$，${S}_{△BDF}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}m×\frac{\sqrt{3}}{2}m$，${S}_{△EFC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（4-m）×\frac{\sqrt{3}}{2}×（4-m）$．
∴四边形ADFE的面积=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}{m}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}（4-m）^{2}$=$-\frac{\sqrt{3}}{4}{m}^{2}+\sqrt{3}m-2\sqrt{3}$=$-\frac{\sqrt{3}}{4}（m-2）^{2}+3\sqrt{3}$．
当0＜m＜2时，S随m的增大而增大，当2＜m＜4时，S随m的增大而减小．

点评 本题主要考查的是等边三角形的性质、特殊锐角三角函数、二次函数的图象和性质，列出S与m的函数关系式是解题的关键．