Question

14．已知，在△ABC中，BC=48cm，高AD=16cm，它的内接矩形MNPQ的一边NP落在BC边上，M，Q分别落在AB，AC上，又矩形MNPQ的两邻边之比为5：9，求此矩形的周长．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到MQ∥BC，推出△AMQ∽△ABC，设MQ=5x，MN=9x，则AH=AD-HD=16-9x，根据相似三角形的性质得到$\frac{MQ}{BC}=\frac{AH}{AD}$，于是求得MQ=$\frac{15}{2}$，MN=$\frac{27}{2}$，求出矩形的周长=2（MQ+MN）=42（cm），当MQ=9x，MN=5x，则AH=AD-HD=16-5x，求得MQ=18，MN=10于是得到矩形的周长=2（MQ+MN）=56（cm），

解答 解：∵矩形MNPQ，
∴MQ∥BC，
∴△AMQ∽△ABC，
设MQ=5x，MN=9x，则AH=AD-HD=16-9x，
∴$\frac{MQ}{BC}=\frac{AH}{AD}$，
∴$\frac{5x}{48}=\frac{16-9x}{16}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴MQ=$\frac{15}{2}$，MN=$\frac{27}{2}$，
∴矩形的周长=2（MQ+MN）=42（cm），
当MQ=9x，MN=5x，则AH=AD-HD=16-5x，
∴$\frac{9x}{48}=\frac{16-5x}{16}$，
解得：x=2，
∴MQ=18，MN=10
∴矩形的周长=2（MQ+MN）=56（cm），
综上所述：矩形的周长为：42（cm）或56（cm）．

点评 本题主要考查了勾股定理、矩形的性质及直角三角形的性质，熟练运用矩形的性质，及作出直角三角形斜边上的高，是解答本题的关键．