Question

2．如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点的坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AC的解析式；
（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、C坐标代入即可；
（2）根据A、C坐标用待定系数法求之即可；
（3）由于BC长度不变，要周长最小，就是让DB+DC最小，而A、B关于对称轴对称，所以AC就是DB+DC的最小值，此时D点就是AC与抛物线对称轴的交点．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+3经过A（1，0），C（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{16a+4b+3=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+h，
将A、C两点坐标代入y=kx+h得：$\left\{\begin{array}{l}{k+h=0}\\{4k+h=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{h=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x-1；
（3）∵y=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
∴B（3，0），抛物线的对称轴为x=2；
∵BC长度不变，
∴BD+DC最小时，△BCD的周长最小，
∵A、B是关于抛物线对称轴对称的，
∴当D点为对称轴与AC的交点时，BD+DC最小，即△BCD的周长最小，如图，

∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴D（2，1），
即：当D点的坐标为（2，1）时，△BCD的周长最小．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式、对称法求两线段之和的最小值，难度不大，是基础题．清楚A、B两点的对称性是解答第三问的关键．