Question

11．对于抛物线C：y=$\frac{1}{4m}$x²（m≠0，m为常数），存在点F（0，m）和直线y=-m，使抛物线C上的任意一点到点F和到直线y=-m的距离相等，我们把F叫做抛物线C的焦点，直线y=-m叫做抛物线C的准线．
（1）如图1，抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x²的焦点为F，准线为l，请直接写出F的坐标和准线l的解析式；
（2）在图1中，抛物线C的准线交y轴于点C，点A是抛物线C上任意一点，过A作AB⊥l于点B，连接FB交x轴于点E，连接CE．求证：CE²=FO•AB；
（3）如图2，将抛物线y=$\frac{1}{8}$x²沿x轴向右平移1个单位后，得到抛物线C₁，此时抛物线C₁的焦点为F₁，准线为l₁，点N的坐标为（5，5），点M是抛物线C₁上的一动点，过点M作MK⊥l₁于点K，连接MN，求|MN-MK|的最大值，并求出此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设F（0，b），A（t，$\frac{1}{4}$t²），则直线l的解析式为y=-b，根据两点间的距离公式，由AB=AF得到t²+（$\frac{1}{4}$t²-b）²=（$\frac{1}{4}$t²+b）²，解得b=1，于是得到点F的坐标为（0，1），准线l的解析式为y=-1；
（2）如图1，连结AF、AE，利用OF=OC可得CE=EF=EB，再由AF=AB，根据等腰三角形的性质得AE⊥BF，于是可证明Rt△ABE∽Rt△EFO，所以$\frac{AB}{EF}$=$\frac{BE}{OF}$，然后利用等线段代换即可得到结论；
（3）如图2，利用抛物线的平移变换得到抛物线C₁的解析式为y=$\frac{1}{8}$（x-1）²，抛物线的对称轴为直线x=1，设F₁（1，n），A[m，$\frac{1}{8}$（m-1）²]，则l₂的解析式为y=-n，根据两点间的距离公式由MK=MF₁得到（m-1）²+[$\frac{1}{8}$（m-1）²-n]²=[$\frac{1}{8}$（m-1）²+n]²，解得n=2，则F₁（1，2），接着利用待定系数法求出直线F₁N的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$，由于|MN-MK|=|MN-MF₁|，而当M、N、F₁共线时，|MN-MK|最大，即M点为直线F1N与抛物线的交点式，|MN-MK|有最大值，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}}\\{y=\frac{1}{8}（x-1）^{2}}\end{array}\right.$即可得到M点的坐标．

解答 解：（1）设F（0，b），A（t，$\frac{1}{4}$t²），则直线l的解析式为y=-b，
所以AB=$\frac{1}{4}$t²+b，
∵AB=AF，
∴t²+（$\frac{1}{4}$t²-b）²=（$\frac{1}{4}$t²+b）²，解得b=1，
∴点F的坐标为（0，1），准线l的解析式为y=-1；
（2）如图1，连结AF、AE，
∵OF=OC，
∴EF=EB，
∴CE=EF=EB，
而AF=AB，
∴AE⊥BF，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=∠OFE，
∴Rt△ABE∽Rt△EFO，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{BE}{OF}$，即EF•BE=OF•AB，
∴CE²=OF•AB；
（3）如图2，抛物线C₁的解析式为y=$\frac{1}{8}$（x-1）²，抛物线的对称轴为直线x=1，
设F₁（1，n），A[m，$\frac{1}{8}$（m-1）²]，则l₂的解析式为y=-n，
∴MK=$\frac{1}{8}$（m-1）²+n，
∴MK=MF₁，
∴（m-1）²+[$\frac{1}{8}$（m-1）²-n]²=[$\frac{1}{8}$（m-1）²+n]²，解得n=2，
∴F₁（1，2），
设直线F₁N的解析式为y=px+q，
把F₁（1，2），N（5，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{p+q=2}\\{5p+q=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{3}{4}}\\{q=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线F₁N的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$，
∴|MN-MK|=|MN-MF₁|，
∴当M、N、F₁共线时，|MN-MK|最大，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}}\\{y=\frac{1}{8}（x-1）^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴M点的坐标为（-1，$\frac{1}{2}$）或（9，8）．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；能利用待定系数法求函数解析式和求抛物线与直线的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；会运用相似比证明线段之间的关系；提高阅读理解能力．