Question

7．如图，已知抛物线y=x²+bx+c的图象过点A（1，0），B（0，-3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一交点为D，请求出D点坐标；
（3）若点C为抛物线上B、D间一动点，当C点到达某位置，使四边形ABCD为梯形时，求梯形的面积．

Answer 1

分析 （1）将A、B两点的坐标代入抛物线解析式即可求出b、c；
（2）求出抛物线解析式之后，将解析式写成交点式即可求出D点坐标；
（3）四边形ABCD要为梯形，则BC∥AD，过B点作AD的平行线交抛物线于点C，求出BC、AD、OB即可求出梯形的面积．

解答 解：（1）将A（1，0），B（0，-3）代入y=x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3
（2）∵y=x²+2x-3=（x+3）（x-1），A（1，0）为已知交点，
∴D（-3，0）；
（3）∵ABCD是梯形，
∴AD∥BC，如图：

令y=x²+2x-3=-3，解得x=-2或x=0（舍去）；
∴C（-2，-3），
∵A（1，0），D（-3，0），
∴AD=4，
∵B（0，-3），
∴OB=3，
又∵C（-2，-3），
∴BC=2，
∴${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}×（AD+BC）×OB$=$\frac{1}{2}×（4+2）×3$=9．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的交点式、解一元二次方程、梯形面积求法，难度不大，是基础题．熟悉二次函数的基本概念、二次函数解析式的三种形式以及相关的公式是解决问题的关键．