Question

9．如图，△ABC中，BC=AC=4，∠ACB=120°，点E是AC上一个动点（点E与A，C不重合），ED∥BC，求S_△CED的最大值．

Answer 1

分析 过D作DF⊥AC交AC或AC的延长线于F，过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠CBH=30°，于是得到BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，设AE=x，由于△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AC}=\frac{DF}{BH}$，于是得到DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．

解答 解：过D作DF⊥AC交AC或AC的延长线于F，过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，
∵BC=AC=4，∠ACB=120°，
∴∠A=∠ABC=∠CBH=30°，
∴BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
设AE=x，
∵ED∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DF}{BH}$，
即$\frac{x}{4}=\frac{DF}{2\sqrt{3}}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵CE=AC-AE=4-x，
∴S_△CED=$\frac{1}{2}$CE•DF=$\frac{1}{2}$×$（4-x）•\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴S_△CED=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x，
∴当x=2时，S_△CED的最大值=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的最值，正确的作出辅助线是解题的关键．