Question

4．如图，抛物线y=x²+4x+3交x轴于A、B两点，（A在B左侧），交y轴于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）抛物线上是否存在点F，使△ABF的面积为1？若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出y，可得C点坐标；将抛物线解析式改写成交点式，可得A、B两点的坐标；
（2）将抛物线解析式配成顶点式；
（3）设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将三角形ABF的面积用F点的横坐标表示出来，等于1，建立方程，解之即可；
（4）分三种情况，画出图形，分别算出即可．

解答 解：（1）令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∵y=x²+4x+3=（x+1）（x+3），
∴A（-3，0），B（-1，0）；
（2）∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴抛物线的对称轴为：x=-2，
顶点坐标为：（-2，-1）；
（3）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=2，
设F点坐标为（m，m²+4m+3），
则：${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}×2×|{m}^{2}+4m+3|$=1，
∴|m²+4m+3|=1，
∴m²+4m+3=1或m²+4m+3=-1，
解得：m=-2+$\sqrt{2}$或m=-2-$\sqrt{2}$或m=-2，
∴点满足要求的点F的坐标为：（-2+$\sqrt{2}$，1）、（-2-$\sqrt{2}$，1）、（-2，-1）；
（4）如图：

若P₁ABC为平行四边形，则P₁C∥AB，且P₁C=AB，
则P₁（-2，3）；
若CABP₂为平行四边形，则P₂C∥AB，且P₂C=AB，
则P₂（2，3）；
若CAP₃B为平行四边形，则BC∥P3A，且BC=P₃A，
则P₃（-4，-3）；
综上所述：满足要求的P点坐标为：（-2，3），（2，3），（-4，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积的坐标表示、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识点，有一定综合性，难度中等．第（2）问当中，将三角形ABF的高用F点纵坐标的绝对值表示，这样建立方程可一次性解出各个解，避免了分类讨论，方法巧妙，值得重视；第（3）问是常规考法，注意考虑周全，不要漏解．