Question

16．在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，E为BC边的中点，过B、C两点分别作AE的垂线，M、N为垂足，连接CM、AC，则下列结论：
（1）M为AN的中点；（2）CM=CD；（3）△MCN∽△ACD；（4）∠BCM=∠CAN．
其中正确结论的是（1）（2）（3）（4）．并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AB=CD，则AD=BC=$\sqrt{2}$，由E为BC边的中点，于是得到BE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，由射影定理得：AM=$\frac{A{B}^{2}}{AE}$，EM=$\frac{B{E}^{2}}{AE}$，证得△BME≌△CNE，根据全等三角形的性质得到EM=EN，BM=CN，于是求得MN=2EM=$\frac{2×\frac{1}{2}A{B}^{2}}{AE}$=$\frac{A{B}^{2}}{AE}$，证得M为AN的中点；故（1）正确；
（2）通过△BEM≌△CEN，得到CM=AB，等量代换得到CM=CD；故（2）正确；
（3）由△BEM≌△CEN，得到∠BAM=∠CMN，由于tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}AB}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，于是得到tan∠NMC=$\frac{CN}{MN}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，推出$\frac{CN}{MN}=\frac{CD}{AD}$，证得△MCN∽△ACD；故（3）正确；
（4）证得△CME∽△ACE，根据相似三角形的性质得到∠BCM=∠CAN；故（4）正确．

解答 证明：（1）在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，
∵AB=CD，AD=BC=$\sqrt{2}$，
∵E为BC边的中点，
∴BE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∵∠ABC=90°，BM⊥AE，
由射影定理得：AM=$\frac{A{B}^{2}}{AE}$，EM=$\frac{B{E}^{2}}{AE}$，
在△BEM与△CEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BME=∠N=90°}\\{∠MEB=∠CEN}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BME≌△CNE，
∴EM=EN，BM=CN，
∴MN=2EM=$\frac{2×\frac{1}{2}A{B}^{2}}{AE}$=$\frac{A{B}^{2}}{AE}$，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点；故（1）正确；
（2）在△ABM与△CMN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=MN}\\{∠AMB=∠N=90°}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△CEN，
∴CM=AB，
∴CM=CD；故（2）正确；
（3）∵△BEM≌△CEN，
∴∠BAM=∠CMN，
∵tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}AB}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠NMC=$\frac{CN}{MN}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{CD}{AD}=\frac{CD}{\sqrt{2}CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CN}{MN}=\frac{CD}{AD}$，
∵∠N=∠D，
∴△MCN∽△ACD；故（3）正确；
（4）∵∠AEC=∠CEM，∠CME=∠DAC=∠ACB，
∴△CME∽△ACE，
∴∠BCM=∠CAN；故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．