Question

11．我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=-x+1，令y=0，可得x=1，我们就说x=1是函数y=-x+1的零点．己知函数y=x²-2（m+1）x-2（m+2）（m为常数）．
（1）当m=-1时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x₁和x₂，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$，求此时的函数解析式，并判断点（n+2，n²-10）是否在此函数的图象上．

Answer 1

分析 （1）根据m的值，可得函数解析式，根据函数值为零，可得相应自变量的值；
（2）根据根的判别式大于零方程有两个不等实数根，可得相应的函数有两个零点；
（3）根据根与系数的关系，可得m的值，可得相应的函数值；把点的坐标满足函数解析式，点在函数的图象上，可得答案．

解答 解：（1）当m=-1时，y=x²-2（m+1）x-2（m+2）为y=x²-2
当y=0时，x²-2=0，
解得x=±$\sqrt{2}$，
当m=-1时，x=$±\sqrt{2}$是函数y=x²-2（m+1）x-2（m+2）的零点；
（2）证明：当y=0时，x²-2（m+1）x-2（m+2）=0，
∵a=1，b=-2（m+1），c=-2（m+2），
∴△=b²-4ac=4（m²+2m+1）-4×（-2m-4）
=4m²+8m+4+8m+16
=4（m²+4m+4）+4
=4（m+2）²+4≥4，
∴x²-2（m+1）x-2（m+2）=0有两个不等实数根，
即无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）函数的两个零点分别为x₁和x₂，
x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=-2（m+2）
$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{2（m+1）}{-2（m+2）}$=-$\frac{2}{3}$，
解得m=1，
当m=1时，函数解析式为y=x²-4x-6；
当x=n+2时，y=（n+2）²-4（n+2）-6=n²-10，
点（n+2，n²-10）在此函数的图象上．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用自变量与函数值的对应关系是求函数零点的关键；（2）利用了根的判别式；（3）利用了根与系数的关系得出m的值是解题关键，点与函数图象的关系：点的坐标满足函数解析式，点在函数图象上；点的坐标不满足函数解析式，点不在函数图象上．