Question

3．如图，△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，过点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，AC=6，BC=8．
（1）求证：四边形DECF是矩形；
（2）设AD=x，试用含x的式子分别表示DE和DF；
（3）在（2）的条件下，能否使四边形DECF的面积是△ABC面积的一半？如果能，试说明点D在什么位置上；如果不能，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得到∠CED=90°，∠CFD=90°根据已知条件得到∠C=90°∠EDF=90° 即可得到结论；
（ 2）根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$，通过△ADF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到
$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AC}$，于是得到AF=$\frac{AD•AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$x，DE=CF=AC-AF=6-$\frac{3}{5}$x，由于△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$，BE=$\frac{BD•BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$x，即可得到结论；（3）根据已知条件列方程即可得到结论．

解答 （1）∵DE⊥BC，
∴∠CED=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=90°，∠C=90°∠EDF=90°，
∴四边形DECF是矩形；

（ 2）∵AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AC}$，
∴AF=$\frac{AD•AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$x，
∴DE=CF=AC-AF=6-$\frac{3}{5}$x，
同理△BDE∽△BAC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
∴BE=$\frac{BD•BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$x，
∴DF=CE=BC-BE=8-$\frac{4}{5}$x；

（3）∵四边形DECF的面积=DE•DF=（6-$\frac{3}{5}$x）（8-$\frac{4}{5}$x），
∵△ABC面积=$\frac{1}{2}AC•BC$=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
当四边形DECF的面积是△ABC面积的一半时，
∴（6-$\frac{3}{5}$x）（8-$\frac{4}{5}$x）=$\frac{1}{2}$×24，
解得x=5，x=15（不合题意舍去），
∴AD=5，
∴D在AB的中点上．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，相似 熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．