Question

18．如图，已知△ABC中，AD是△ABC外角平分线，交BC延长线于D，求证：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$．

Answer 1

分析 作DF∥AC交AE于F，如图，由AD是△ABC外角∠EAC的平分线得到∠1=∠2，由AC∥DF得∠2=∠3，则∠1=∠3，所以FA=FD，再根据平行线分线段成比例，
由AC∥DF得到AC：DF=BC：BD，AB：AF=BC：CD，利用比例的性质得到AC•BD=DF•BC，AB•CD=AF•BC，所以AC•BD=AB•CD，然后根据比例性质即可得到结论．

解答 证明：作DF∥AC交AE于F，如图，
∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵AC∥DF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴FA=FD，
∵AC∥DF，
∴AC：DF=BC：BD，AB：AF=BC：CD，
∴AC•BD=DF•BC，AB•CD=AF•BC，
而FA=FD，
∴AC•BD=AB•CD，
∴AB：AC=BD：DC．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．