Question

10．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B₂D₁C₁面积为S₁，△B₃D₂C₂面积为S₂，…，△B_n+1D_nC_n面积为S_n，则S₂₀₁₃等于（　　）

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2013\sqrt{3}}{2014}$
• D． $\frac{2014\sqrt{3}}{2015}$

Answer 1

分析 注意到B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃∥…∥B_n+1C_n+1，因此有△AD₁C₁∽△AB₂C₂，△AD₂C₂∽△AB₃C₃，△AD₃C₃∽△AB₄C₄…，这一系列的相似三角形的相似比是明显可求的，所以面积比也就可以知道了．以△AD₁C₁∽△AB₂C₂为例，△AB₂C₂的底为等边三角形边长的两倍，高与等边三角形的高相等，那么△AB₂C₂的面积就是等边三角形面的两倍，由于相似比为1：2，所以它们的面积比为1：4，从而可以求出△AD₁C₁的面积，△AB₂C₂的面积减去△AD₁C₁的面积和一个等边三角形的面积即是△B₂D₁C₁的面积，后面的类推．

解答 解：∵等边三角形的边长为2，
∴等边三角形的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，
∵△AD₂₀₁₃C₂₀₁₃∽△AB₂₀₁₄C₂₀₁₄，且$\frac{A{C}_{2013}}{A{C}_{2014}}=\frac{2013}{2014}$，
∴$\frac{{S}_{△A{D}_{2013}{C}_{2013}}}{{{S}_{△A{B}_{2014}C}}_{2014}}$=${（\frac{2013}{2014}）}^{2}$，
∵${{S}_{△A{B}_{2014}C}}_{2014}$=2014$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△A{D}_{2013}{C}_{2013}}$=${（\frac{2013}{2014}）}^{2}×2014\sqrt{3}$=$\frac{201{3}^{2}\sqrt{3}}{2014}$，
∴${S}_{2013}=2014\sqrt{3}-\frac{201{3}^{2}\sqrt{3}}{2014}-\sqrt{3}$=$\frac{201{4}^{2}-201{3}^{2}-2014}{2014}\sqrt{3}$=$\frac{2013\sqrt{3}}{2014}$，
故选C．

点评 本题以图形迭代的形式考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，难度中等．由图中等边三角形的性质得出三角形相似，且知道相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答本题的关键所在．