Question

1．已知：如图直线y=-x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点．抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c过A、B两点，与x轴的另一个交点为C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，求S与m的函数关系式，直接写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使得∠PCA=∠ABC？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式求得A、B两点的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）先求得C的坐标，进而求得AC的长，设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为$\frac{1}{2}$m²-4m+6，根据三角形面积公式即可表示出，S=$\frac{1}{2}$×4×|$\frac{1}{2}$m²-4m+6|，然后根据m的取值，分别表示长关系式即可；
（3）作CD⊥AB于D，PE⊥x轴于E，因为OA=OB，得出△AOB是等腰直角三角形，进而证得△ACD是等腰直角三角形，AB=6$\sqrt{2}$，从而求得AD=CD=2$\sqrt{2}$，BD=4$\sqrt{2}$，然后通过证得△BCD∽△CPE，对应边成比例得出2|$\frac{1}{2}$m²-4m+6|=m-2，然后分两种情况分别讨论，解方程即可求得．

解答 解：（1）∵直线y=-x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（6，0），B（0，6），
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×36+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6；
（2）令y=0，则$\frac{1}{2}$x²-4x+6=0，
解得x₁=2，x₂=6，
∴C（2，0），
∴AC=6-2=4，
∵点P是抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为$\frac{1}{2}$m²-4m+6，
∴S=$\frac{1}{2}$×4×|$\frac{1}{2}$m²-4m+6|，
∴当m≤2或m≥6时，S=2（$\frac{1}{2}$m²-4m+6）=m²-8m+12，
当2＜m＜6时，S=-2（$\frac{1}{2}$m²-4m+6）=-m²+8m-12；
（3）如图，作CD⊥AB于D，PE⊥x轴于E，
∵OA=OB=6，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DCA=45°，
∴AD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=2$\sqrt{2}$，
∵A（6，0），B（0，6），
∴AB=6$\sqrt{2}$，
∴BD=AB-AD=4$\sqrt{2}$，
∵∠PCA=∠ABC，∠PEC=∠CDB=90°，
∴△BCD∽△CPE，
∴$\frac{PE}{CD}$=$\frac{CE}{BD}$，
∵P（m，$\frac{1}{2}$m²-4m+6），
∴PE=|$\frac{1}{2}$m²-4m+6|，CE=m-2，
∴$\frac{|\frac{1}{2}{m}^{2}-4m+6|}{2\sqrt{2}}$=$\frac{m-2}{4\sqrt{2}}$，
∴2|$\frac{1}{2}$m²-4m+6|=m-2，
当m＜2或m＞6时，2（$\frac{1}{2}$m²-4m+6）=m-2，
整理得，m²-9m+14=0
解得m₁=2（舍去），m₂=7，
此时，P（7，$\frac{5}{2}$）；
当2＜m＜6时，-2（$\frac{1}{2}$m²-4m+6）=m-2，
整理得，m²-7m+10=0，
解得m₁=5，m₂=2（舍去），
此时P（5，-$\frac{3}{2}$）；
综上，存在一点P，使得∠PCA=∠ABC，点P坐标为（7，$\frac{5}{2}$）或（5，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，三角形相似的判定和性质，解一元二次方程等，分类讨论思想的运用是解题的关键．