Question

10．在平面直角坐标系中，点A（4，0）、B（0，8），以AB为斜边作等腰直角△ABC，则点C坐标为（6，6）和（-2，2）．

Answer 1

分析 分两种情况：（1）如图①，点C在第一象限，（2）如图②，点C在第二象限．针对每一种情况，分别画出图形，再利用全等求出距离，从而得出C点坐标．

解答 解：分两种情况：
（1）如图1所示，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
在△BCD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠ABC}&{\;}\\{BCD=∠ACE}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（AAS），
∴AE=BD，CE=CD=OE，
∵AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{10}$，
由勾股定理得：CE²+（CE-4）²=AC²=40，
解得：CE=：6或CE=-2（不合题意舍去）．
则点C坐标为（6，6）；
（2）如图2所示，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
在△BCD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠AEC}&{\;}\\{∠BCD=∠ACE}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（AAS），
∴AE=BD，CE=CD=OE，
∵AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{10}$，
由勾股定理得：CE²+（CE+4）²=AC²=40，
解得：CE=2，或-6（不合题意舍去）．
则点C坐标为（-2，2）．
综上可知点C坐标为：（6，6）和（-2，2）．
故答案为：（6，6）和（-2，2）．

点评 考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；注意分类思想的运用，有一定的难度．