Question

2．如图．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-2x-3交x轴于A、B两点，直线y=$\frac{1}{3}$x-1交y轴于点C，若x轴上的点P满足PA=PC，则P点坐标为（$\frac{4}{3}，0$）；若在抛物线对称轴上且位于x轴上方的点Q满足∠OAC＜∠QCA＜3∠OAC，则点Q纵坐标y取值范围为$0＜y＜\frac{17}{7}$．

Answer 1

分析 根据抛物线y=x²-2x-3交x轴于A、B两点，直线y=$\frac{1}{3}$x-1交y轴于点C，若x轴上的点P满足PA=PC，可以画出相应的图形，进而可以得到点P的坐标；要求点Q的纵坐标取值范围，关键是能够根据题目中给出的信息，构造出相应的角，通过题目中的额已有信息，灵活变化，从而可以解答本题．

解答 解：将x=0代入y=$\frac{1}{3}$x-1得，y=-1；将y=0代入y=$\frac{1}{3}$x-1得，x=3．
∵直线y=$\frac{1}{3}$x-1交y轴于点C，交x轴于点A，
∴点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-1）．
∵x轴上的点P满足PA=PC，设点P的坐标为（x，0），如下图一所示：

∴3-x=$\sqrt{{x}^{2}+（-1）^{2}}$．
解得，x=$\frac{4}{3}$．
故点P的坐标为（$\frac{4}{3}，0$）．
如下图二所示，作CD=PD，点D在x轴上，设DP的长度为a，CD的延长线交抛物线的对称轴于点Q₂，CP交抛物线的对称轴于点Q₁，

∵抛物线y=x²-2x-3．
∴抛物线的对称轴为：x=$-\frac{-2}{2×1}=1$．
∵点Q₁，Q₂位于抛物线的对称轴上，设点Q₁，Q₂的坐标分别为（1，y₁），（1，y₂），
又∵PC=PA，
∴∠OAC=∠Q₁CA．
∵点C的坐标为（0，-1），点P的坐标为：（$\frac{4}{3}，0$），设过点CP的直线为：y=kx+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{\frac{4}{3}k+b=0}\end{array}\right.$
解得，k=$\frac{3}{4}$，b=-1．
∴y=$\frac{3}{4}x-1$．
将x=1代入y=$\frac{3}{4}x-1$得，y=$-\frac{1}{4}$．
故点Q₁的坐标为（1，-$\frac{1}{4}$）．
∵CD=PD，PC=PA，∠DPC=∠OAC+∠PCA，
∴∠OAC=∠PCA，∠DPC=∠DCP，∠DCP=2∠OAC．
∴∠Q₂CA=3∠OAC．
∵DP的长度为a，点P的坐标为（$\frac{4}{3}，0$），
∴点D的坐标为（$\frac{4}{3}-a，0$）．
∴$\sqrt{（-1）^{2}+（\frac{4}{3}-a）^{2}}={a}^{2}$．
解得，a=$\frac{25}{24}$．
∴点D的坐标为（$\frac{7}{24}，0$）．
设过点D（$\frac{7}{24}，0$）、C（0，-1）的直线解析式为y=mx+n．
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{24}m+n=0}\\{n=-1}\end{array}\right.$
解得，m=$\frac{24}{7}$，n=-1．
∴y=$\frac{24}{7}x-1$．
将x=1代入y=$\frac{24}{7}x-1$得，y=$\frac{17}{7}$．
故Q₂的坐标为（1，$\frac{17}{7}$）．
∵在抛物线对称轴上且位于x轴上方的点Q满足∠OAC＜∠QCA＜3∠OAC，
∴点Q纵坐标y取值范围为：0＜y＜$\frac{17}{7}$．
故答案为：（$\frac{4}{3}，0$），0＜y＜$\frac{17}{7}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点问题、直线与二次函数相交的问题，解答本题的关键是可以根据题意画出相应的图形，构造出题目中的角，灵活变化求出所求问题的答案．