Question

12．如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E．
（1）试说明：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析 （1）结合已知条件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以推出结论；
（2）由（1）的结论就可以推出AB长度，规矩勾股定理即可推出⊙O半径的长．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠ADB，
又∠BAE=∠DAB，
∴△ABD∽△AEB；

（2）解：∵△ABD∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
∵AD=1，DE=3，
∴AE=4，
∴AB²=AD•AE=1×4=4，
∴AB=2，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°，
在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD²=2²+1²=5，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴⊙O半径的长是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，解题的关键在于找到∠ABC=∠ADB，求证三角形相似．