Question

14．如图，?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于GH．
（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用两角对应相等可证出△ABE∽△ADF；
（2）利用（1）的结论，先证出△ABG≌△ADH，得到AB=AD，那么平行四边形ABCD是菱形．

解答 解：（1）∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE∽△ADF；

（2）证明：∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
∴∠AGB=∠AHD，
∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH，
在△BAG与△DAH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠AHD}\\{∠BAG=∠DAH}\\{AG=AH}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△DAH，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟悉图形特征是解题的关键．