Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=∠CAD=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC=4，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OA，由已知∠B=∠CAD=30°，所以得∠AOC=60°，继而可得∠OAC=60°，又∠CAD=30°，所以∠OAD=90°，问题得证；
（2）由于OD⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠D=30°，通过解直角三角形求得AD的长度即可．

解答：（1）证明：连接OA，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
可得∠OAC=60°，
又∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；

（2）解：∵OD⊥AB，
∴弧BC=弧AC，
∴BC=AC=4，
∵△OAC是等边三角形，
∴OA=AC=4，
在Rt△OAD中，∠D=30°，OA=4，
∴AD=4

3

．

点评：此题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．