Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点B，C，与直线AC:y=－x－6交y轴于点A，点M是抛物线的顶点，且横坐标为－2.

（1）求出抛物线的表达式.

（2）判断△ACM的形状并说明理由.

（3）直线CM交y轴于点F，在直线CM上是否存在一点P，使∠CMA=∠PAF，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ACM为直角三角形，理由见解析；（3）存在， ，

【解析】解：（1） A（0，－6） C（－6，0）

∴

解得

∴此抛物线的表达式为.

（2）△ACM为直角三角形，理由如下：

M（－2，－8）

∴AC2+AM2=72+22+（8－6）2=80

MC2=42+82=80

∴AC2+AM2=MC2

∴△ACM为直角三角形

（3）假设存在

设直线CM的解析式为y=kx+b过C（－6，0）、M（－2，－8）则

解得

∴y=－2x－12

设P(n,－2n－12)

∴∠CMA=∠MAF+∠AFM ∠PAF=∠MAF+∠PAM

又 ∠APF=∠MPA ∴ △APF～△MPA

∴ 即

∴

∴ 35n2+216n+324=0

∴，

∴ 符合条件的P点有两个,其坐标分别为 ：

，