Question

11．如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E分别为AB，AC边上的点．AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD，交BE于点G，交AC于点M．
（1）求证：GM=GE；
（2）求证：BG=AF+FG．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ACD≌△ABE，得出∠1=∠3，再由∠BAC=90°，可得∠3+∠2=90°，结合FG⊥CD可得出∠3=∠CMF，∠GEM=∠GME，继而可得出结论．
（2）先大致观察三者的关系，过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，利用（1）的结论可将AF转化为NF，BG转化为NG，从而在一条直线上得出三者的关系．

解答 （1）证明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，
在△ACD与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAD=∠BAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠1=∠3，
∵∠BAC=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠3=90°
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠4=90°，
∴∠3=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
∴EG=MG，△EGM为等腰三角形．
（2）证明：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，如图：
∵BN⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠FBN=45°=∠FBA．
∵FG⊥CD，
∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA=90°-∠EBC，∠5+∠2=90°，
由（1）可得∠DCB=∠EBC，
∴∠BFN=∠BFA，
又∵BF=BF，
在△BFN与△BFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠EBC}\\{BF=BF}\\{∠BFN=∠BFA}\end{array}\right.$，
∴△BFN≌△BFA（ASA），
∴NF=AF，∠N=∠5，
又∵∠GBN+∠2=90°，
∴∠GBN=∠5=∠N，
∴BG=NG，
又∵NG=NF+FG，
∴BG=AF+FG．

点评 本题考查全等三角形的判定及性质，难度较大，尤其是第二问的证明，要学会要判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行，第二问另外还可以有如下解法，①设CD、BE的交点为N，连接AN（见下图）．先证AF=BN，再证FG=NG，②过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见下图）．先证AH=BE，再证FM=FH，同学们可以自己试一下．