Question

2．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD上一点，且BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，在BC上取一点F，使BF=AB
（1）求证：△ABE≌△FBE；
（2）求证：∠D=∠EFC；
（3）下列四个结论：①点E是AD中点，②BC=AB+CD，③∠BEC=90°中，正确的结论有哪些？请从中选择一个正确的结论加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据两边及其夹角相等的两个三角形全等即可判定．
（2）欲证明∠D=∠EFC，只要证明△ECF≌△ECD即可．
（3）由△EBA≌△EBF，△ECF≌△ECD，即可夹角问题．

解答 （1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠EBA=∠EBF，
在△EBA和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{∠EBA=∠EBF}\\{BA=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBA≌△EBF．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠BEC=90°，
∵△EBA≌△EBF，
∴∠BEA=∠BEF，
∵∠BEF+∠FEC=90°，∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠CED=∠CEF，
在△ECF和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FEC}\\{EC=EC}\\{∠ECF=∠ECD}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△ECD，
∴∠D=∠EFC．
（3）①②③都是正确的．
理由：∵∠BEC=90°（已证明）故③正确．
∵△EBA≌△EBF，△ECF≌△ECD，
∴AE=EF，EF=DE，AB=BF，CF=CD，
∴AE=ED，BC=BF+CF=AB+CD，故①②正确．
∴①②③正确．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键，属于中考常考题型．