Question

7．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E、G，连接GF，有下列结论：①∠AGD=112.5°；②AD=2AE；③S_△AGD=S_△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确结论的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①④⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 ①根据正方形性质和折叠性质得出∠GAD和∠ADG，即可求解；
②根据直角三角形的直角边小于斜边，即可得出结论；
③根据角平分线的性质得出三角形的高相等，再分析底边长即可；
④证明四条边相等即可；
⑤由折叠的性质设BF=EF=AE=1，进一步表示AB，BD，DF的长度，结合相似三角形进行求解即可．

解答 解：因为在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，
所以∠GAD=45°，∠ADG=$\frac{1}{2}∠ADO=22.5°$，
可求，∠AGD=112.5°，所以①正确．
因为tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$，
因为AE=EF＜BE，
所以AE＜$\frac{1}{2}$AB，
因为AD=AB，因此②错．
因为AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，
所以S_△AGD＞S_△OGD，所以③错．
根据题意可得：AE=EF，AG=FG，又因为EF∥AC，
所以∠FEG=∠AGE，又因为∠AEG=∠FEG，
所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，
所以四边形AEFG是菱形，因此④正确．
由折叠的性质设BF=EF=AE=1，则AB=1+$\sqrt{2}$，BD=2+$\sqrt{2}$，DF=1+$\sqrt{2}$，
由此可求，
$\frac{OG}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因为EF∥AC，
所以△DOG∽△DFE，
所以$\frac{OG}{EF}=\frac{DO}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$EF=2OG，
在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，
所以△BEF是等腰直角三角形，同理可证△OFG是等腰直角三角形，
在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
所以BE=2OG．因此⑤正确．
故答案为：C．

点评 此题主要考查四边形综合问题，熟悉正方形性质和菱形的判定，会用勾股定理进行线段求值，会根据平行论证相似是解题的关键．