【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动,它们的速度分别为每秒2cm和1cm,FQ⊥BC,分别交AC、BC于点P和Q,设运动时间为t秒(0<t<4).
(1)连接EF,若运动时间t= 时,EF⊥AC;
(2)连接EP,当△EPC的面积为3cm2时,求t的值;
(3)若△EQP∽△ADC,求t的值.
【答案】(1)秒;(2)2秒;(3)2秒.
【解析】
(1)先确定出AC=10,进而得出∠ACB的余弦值,利用三角函数得出CP,CG,即可得出PG,再判断出△PFG∽△EFQ,建立方程即可得出结论,
(2)利用三角形的面积建立方程即可得出结论;
(3)先判断出EQ=CQ,进而得出CE=2CQ,建立方程即可得出结论.
解:(1)如图1,
在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,根据勾股定理得,AC=10,
∵∠B=∠D=∠BCD=90°,FQ⊥BC于Q,
∴四边形CDFQ是矩形,
∴CQ=DF,
由运动知,BE=2t,DF=t,
∴CQ=t,CE=BC﹣BE=8﹣2t,AF=8﹣t,
∴EQ=CE﹣CQ=8﹣3t,
在Rt△ABC中,cos∠ACB=,
在Rt△CPQ中,cos∠ACB=,
∴CP=t,
∵EF⊥AC,
∴∠CGE=90°=∠ABC,
∴∠ACB+∠FEQ=90°,
∵∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠FEQ=∠BAC,
∴△ABC∽△EQF.
∴
∴,
∴EQ=,
∴8﹣3t=,
t=秒;
故答案是:秒;
(2)由(1)知,CE=8﹣2t,CQ=t,
在Rt△ABC中,tan∠ACB=,
在Rt△CPQ中,tan∠ACB=,
∴PQ=t,
∵△EPC的面积为3cm2,
∴S△EPC=CE×PQ=×(8﹣2t)×t=3,
∴t=2秒,
即:t的值为2秒;
(3)四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,
∵△EQP∽△ADC,
∴∠CAD=∠QEP,
∴∠ACB=∠QEP,
∴EQ=CQ,
∴CE=2CQ,
由(1)知,CQ=t,CE=8﹣2t,
∴8﹣2t=2t,
∴t=2秒.
即:t的值为2秒.
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【题目】已知,如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB,D是AB的中点,DE⊥AB交AC于E,若∠BEC=∠C.
(1)若BE平分∠ABC,求∠A的度数;
(2)若△ABC的周长为10,△BCE的周长为6,求BC的长度。
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【题目】每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,
①写出A、B、C的坐标.
②以原点O为对称中心,画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出A1、B1、C1的坐标.
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【题目】某商店销售甲、乙两种商品.现有如下信息:
(1)请设计一张表格,并把上述信息中的已知数量填进去;
(2)根据情境中的信息,提出一个问题,并用二元一次方程组解决这个问题.
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【题目】2019 年 3 月 31 日,南京地铁新的价格方案正式实施,实行消费累进优惠.普通成人每月持卡乘坐地铁,当消费累计金额不超过 150 元时,每次乘坐地铁的票价打 9.5 折;当消费累计金 额超过 150 元时,达到规定的消费累计金额后的乘次,票价所打折扣如下表所示:
消费累计金额(元) | 折扣 |
9折 | |
8折 | |
9.5折 |
小明上、下班每次乘坐的地铁单程票价为 10元,2019年 4月份他上、下班持卡共乘坐了 40次.
(1)填表:
第1 次 | 第2 次 | … | 第15次 | 第16次 | 第17次 | … | |
消费累计 金额(元) | 9.5 | 19 | … | 142.5 | 152 | … |
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(2)小明当月第几次乘车后,消费累计金额超过 20元?(用一元一次不等式解决问题)
(3)小明 4月份上、下班持卡乘坐地铁的消费累计金额为 元.
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【题目】如图,长方形ABCD中,AB=6,第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位长度,得到长方形A1B1C1D1,第2次平移长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位长度,得到长方形A2B2C2D2,…,第n次平移长方形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向向右平移5个单位长度,得到长方形AnBnCnDn(n>2),若ABn的长度为2 026,则n的值为( ).
A. 407B. 406C. 405D. 404
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【题目】重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫,每件成本价为20元,每天销售150件:
(1)若要每天的利润不低于2250元,则销售单价至少为多少元?
(2)为了回馈广大游客,同时也为了提高这种文化衫的认知度,商店决定在“五一”节当天开展促销活动,若销售单价在(1)中的最低销售价的基础上再降低m%,则日销售量可以在150件基础上增加m件,结果当天的销售额达到5670元;要使销售量尽可能大,求出m的值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P是BC中点,点E、F是边CD上的任意两点,且EF=2,当四边形APEF的周长最小时,则DF的长为( )
A. 2 B. 4 C. D.
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