【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O与AC边交于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE
(1)证明OE∥AD;
(2)①当∠BAC= °时,四边形ODEB是正方形.
②当∠BAC= °时,AD=3DE.
【答案】 (1)见解析 (2)①∠BAC=45°; ②当∠BAC=30°时,AD=3DE
【解析】
连接OD,根据已知条件易证Rt△ODE≌Rt△OBE得到∠BOE=∠DOB,根据圆周角定理可得∠A=
∠DOB,即可得∠BOE=∠A,根据平行线的判定证明OE∥AD;(2)①根据正方形的性质和平行线的性质可得结论;②作OF⊥AD于F,根据垂径定理和锐角三角函数的知识计算即可得结论.
(1)连接OD,
∵DE是⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
在Rt△ODE和Rt△OBE中,
,
∴Rt△ODE≌Rt△OBE,
∴∠BOE=∠DOB,
∵∠A=∠DOB,
∴∠BOE=∠A,
∴OE∥AD;
(2)①当四边形ODEB是正方形时,BO=BE,
∴∠BOE=45°,
∵OE∥AD,
∴∠BAC=45°;
②当∠BAC=30°时,AD=3DE,
证明:作OF⊥AD于F,
由垂径定理可知,AF=DF=AD,
∵∠BAC=30°,
∴∠ODF=∠DOE=30°,
∴OD==
AD,
OD==
DE,
∴AD=3DE.
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【题目】如图,二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(﹣4,0).
(1)该二次函数的关系式是 ,顶点坐标 .
(2)根据图象回答:当x满足 时,y>0;
(3)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标 .
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(﹣3,m+8),B(n,﹣6)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
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【题目】如图所示,在中,
是
的平分线,
是
上一点,且
,连接
并延长
交
于
,又过
作
的垂线交
于
,交
为
,则下列说法:①
是
的中点;②
;③
;④
为等腰三角形;⑤连接
,若
,
,则四边形
的面积为24;其中正确的是______(填序号).
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【题目】如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+b交y轴于点A(0,4),交x轴于点B.
(1)求直线AB的表达式和点B的坐标;
(2)直线l垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线l上一动点,且在点D的上方,设点P的纵坐标为n.
①用含n的代数式表示△ABP的面积;
②当S△ABP=8时,求点P的坐标;
③在②的条件下,以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC,求点C的坐标.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O,BE与CD相交于点G,且OE=OD,则AP的长为______.
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