Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．

（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；

（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．

①用含n的代数式表示△ABP的面积；

②当S△ABP＝8时，求点P的坐标；

③在②的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+4，点B的坐标为（4，0）；（2）①2n﹣4；②（2，6）；③6，4）．

【解析】

（1）把点A的坐标代入直线解析式可求得b＝4，则直线的解析式为y＝﹣x+4，令y＝0可求得x＝4，故此可求得点B的坐标；

（2）①由题l垂直平分OB可知OE＝BE＝2，将x＝2代入直线AB的解析式可求得点D的坐标，设点P的坐标为（2，n），然后依据S△APB＝S△APD+S△BPD可得到△APB的面积与n的函数关系式为S△APB＝2n﹣4；

②由S△ABP＝8得到关于n的方程可求得n的值，从而得到点P的坐标；

③如图1所示，过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．设点C的坐标为（p，q），先证明△PCM≌△CBN，得到CM＝BN，PM＝CN，然后由CM＝BN，PM＝CN列出关于p、q的方程组可求得p、q的值；如图2所示，同理可求得点C的坐标．

（1）∵把A（0，4）代入y＝﹣x+b得b＝4

∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+4．

令y＝0得：﹣x+4＝0，解得：x＝4

∴点B的坐标为（4，0）．

（2）①∵l垂直平分OB，

∴OE＝BE＝2．

∵将x＝2代入y＝﹣x+4得：y＝﹣2+4＝2．

∴点D的坐标为（2，2）．

∵点P的坐标为（2，n），

∴PD＝n﹣2．

∵S△APB＝S△APD+S△BPD，

∴S△ABP＝PDOE+PDBE＝（n﹣2）×2+（n﹣2）×2＝2n﹣4．

②∵S△ABP＝8，

∴2n﹣4＝8，解得：n＝6．

∴点P的坐标为（2，6）．

③如图1所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．

设点C（p，q）．

∵△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，

∴PC＝CB，∠PCM+∠MCB＝90°．

∵CM⊥l，BN⊥CM，

∴∠PMC＝∠BNC＝90°，∠MPC+∠PCM＝90°．

∴∠MPC＝∠NCB．

在△PCM和△CBN中，

，

∴△PCM≌△CBN．

∴CM＝BN，PM＝CN．

∴，解得．

∴点C的坐标为（6，4）．

如图2所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．

设点C（p，q）．

∵△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，

∴PC＝CB，∠PCM+∠MCB＝90°．

∵CM⊥l，BN⊥CM，

∴∠PMC＝∠BNC＝90°，∠MPC+∠PCM＝90°．

∴∠MPC＝∠NCB．

在△PCM和△CBN中，

，

∴△PCM≌△CBN．

∴CM＝BN，PM＝CN．

∴，解得．

∴点C的坐标为（0，2）舍去．

综上所述点C的坐标为（6，4）．