Question

16．某次军事演习中，有三艘军舰在同一时刻向指挥所报告．A舰说：“B舰在它的正东方向，C舰在它的北偏东方向”，B舰说：“C舰在它的北偏西30°方向”．C舰说：“它到A舰的距离比它到B舰的距离远40海里”．求A、B两舰的距离是多少海里（精确到0.1海里）？（$\sqrt{2}$≈1.41.$\sqrt{3}$≈1.73.$\sqrt{6}$=2.45）

Answer 1

分析 首先根据叙述作出图形，设BD=x海里，根据三角函数分别表示出BC、CD、AC、AD．根据C船说它在A船的距离比它到B船的距离远40海里，即AC-BC=40海里，即可列出方程，求得AB的距离．

解答 解：如图，

根据题意，∠CAD=45°，∠BCD=30°，
过点C作CD⊥AB于点D，设BD=x海里，
在RT△BCD中，∵∠BCD=30°，
∴BC=2x，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{3}x$，
在RT△ACD中，∵∠CAD=45°，
∴AD=CD=$\sqrt{3}$x，AC=$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{\sqrt{3}x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{6}$x，
又∵AC-BC=40，
∴$\sqrt{6}$x-2x=40，解得：x=20（$\sqrt{6}$+2），
故AB=AD+BD=$\sqrt{3}$x+x=（$\sqrt{3}$+1）×20（$\sqrt{6}$+2）≈243.1（海里）．
答：A、B两舰的距离约为243.1海里．

点评 本题主要考查了三角函数的应用，正确利用三角函数把求线段的长的问题转化为方程问题是解题的关键．