Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=4，CB=3，∠A=45°，P、Q分别是边AB、CD上的动点，（点P不与点A、B重合），且有BP=2CQ．
（1）求AB的长；
（2）连接BD交PQ于E，当PQ⊥BD时，求CQ的长；
（3）以C为圆心，CQ为半径作⊙C，以P为圆心，以PA的长为半径作⊙P．当⊙C和⊙P相切时，求CQ的长．

Answer 1

解：（1）如图1，过点D作DF⊥AB于F，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=4，CB=3，
∴BF=CD=4，DF=BC=3，
∵∠A=45°
∴AF=DF=3，
∴AB=AF+FB=4+3=7；

（2）设CQ=x，则PB=2x，DQ=4-x，BD=5，
当PQ⊥BD时，
易证Rt△DEQ∽Rt△DCB，
∴=，即=，
∴DE=（4-x），
∴BE=5-（4-x）=，
易证Rt△DEQ∽Rt△BEP，
∴，
∴，解得，x=4（舍去），
∴CQ=；

（3）设CQ=x，则PB=2x，PA=7-2x，
当⊙C和⊙P外切时，如图2，PC=7-x，
在Rt△PBC中，PB²+BC²=PC²，
∴4x²+9=（7-x）²
解得：x=2，（舍去）；
当⊙C和⊙P内切时，如图3，PC=7-3x，
在Rt△PBC中，PB²+BC²=PC²，
∴4x²+9=（7-3x）²
解得：，（舍去），
∴当⊙C和⊙P相切时，CQ=2或CQ=．
分析：（1）如图1，过点D作DF⊥AB于F，得到BF=CD=4，DF=BC=3，而∠A=45°，则AF=DF=3，即可得到AB的长；
（2）设CQ=x，则PB=2x，DQ=4-x，BD=5，当PQ⊥BD时，易证Rt△DEQ∽Rt△DCB，利用相似比可表示DE，即DE=（4-x），则BE=5-（4-x）=，又可证出Rt△DEQ∽Rt△BEP，利用相似比得到关于x的方程，解方程即可；
（3）设CQ=x，则PB=2x，PA=7-2x，分类讨论：当⊙C和⊙P外切时，如图2，PC=7-x，利用勾股定理得到4x²+9=（7-x）²；当⊙C和⊙P内切时，如图3，PC=7-3x，利用勾股定理得到4x²+9=（7-3x）²．然后分别解方程得到满足条件的x的值即可．
点评：本题考查了两圆相切的性质：相切两圆的圆心距等于两圆的半径之和．也考查了三角形相似的判定与性质、一元二次方程的解法以及分类讨论思想的运用．