Question

5．如图，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于点C，AC=$\frac{3}{2}$；
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，B点的坐标是（2，-3），求出k值，根据AC垂直y轴于点C，AC=$\frac{3}{2}$，确定点A的横坐标，求出纵坐标，用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）求出直线AB与x轴的交点，根据面积公式求出△AOB的面积．

解答 解：（1）∵B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，B点的坐标是（2，-3），
∴k=-6，∴双曲线的解析式为：y=-$\frac{6}{x}$．
∵AC垂直y轴于点C，AC=$\frac{3}{2}$，
∴点C的横坐标为-$\frac{3}{2}$，
则纵坐标为4，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-3}\\{-\frac{3}{2}k+b=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式为y=-2x+1；
（2）直线y=-2x+1与x轴的交点坐标为（$\frac{1}{2}$，0），
△AOB的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．