Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点B作∠DBP=30°，交⊙O于点P，连接DE、CP、OP．
（1）BD与DC的数量关系是相等，DE与BP的位置关系是平行；
（2）求∠BOP的度数；
（3）求证：CP是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图1，根据圆周角定理，由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，则根据等腰三角形的性质可得BD=DC；再利用三角形内角和计算出∠ABC=∠ACB=75°，根据圆内接四边形的性质得∠DEC=∠ABC=75°，于是可计算出∠EDC=30°，所以∠EDC=∠DBP=30°，则根据平行线的判定方法即可得到DE∥BP．
（2）由∠DBP=30°，∠ABC=75°得∠OBP=45°，则利用OB=OP得到∠OPB=∠OBP=45°，所以∠BOP=90°；
（3）作CH⊥AB于H，如图，在Rt△AHC中根据含30度的直角三角形三边的关系得到CH=$\frac{1}{2}$AC，则CH=$\frac{1}{2}$AB=OP，再证明四边形OPCH为矩形得到∠OPC=90°，然后根据切线的判定定理得到CP是⊙O的切线．

解答 （1）解：连结AD，如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
而∠DEC=∠ABC=75°，
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠DCE=30°，
∴∠EDC=∠DBP=30°，
∴DE∥BP．
故答案为相等，平行；
（2）解：∵∠DBP=30°，∠ABC=75°，
∴∠OBP=45°，
∵OB=OP，
∴∠OPB=∠OBP=45°，
∴∠BOP=90°；
（3）证明：作CH⊥AB于H，如图，
在Rt△AHC中，∵∠HAC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC，
而AC=AB，
∴CH=$\frac{1}{2}$AB，
∴CH=OP，
∵∠POH=90°，CH⊥OH，
∴OP∥CH，
∴四边形OPCH为平行四边形，
而∠POH=90°，
∴四边形OPCH为矩形，
∴∠OPC=90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质．