Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为3 cm，P、Q分别从B、A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1 cm/秒，Q点的运动速度是2 cm/秒。连接AP并过Q作QE⊥AP垂足为E。

（1）求证：△ABP∽△QEA ；

（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；

（3）设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y。（不要求考虑t的取值范围）

（提示：解答（2）（3）时可不分先后）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当t取时△ABP与△QEA全等；（3）y=.

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可；

（2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可；

（3）根据相似三角形的性质得出函数解析式即可．

试题解析：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，∵QE⊥AP，∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°，∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ，∴△ABP∽△QEA（AA）；

（2）∵△ABP≌△QEA，∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；

在RT△ABP与RT△QEA中根据勾股定理得： ， ，即，解得=， =﹣（不符合题意，舍去）．

答：当t=时，△ABP与△QEA全等．

（3）由（1）知△ABP∽△QEA，∴ ，∴，整理得： ．