Question

【题目】如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C

（1）求抛物线的表达式；

（2）在直线AC的上方的抛物线上，有一点P（不与点M重合），使△ACP的面积等于△ACM的面积，请求出点P的坐标；

（3）在y轴上是否存在一点Q，使得△QAM为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为：（2，3）；（3）存在，点Q的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，）或（0，﹣）

【解析】

（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；

（2）过点M作直线m∥AC，在AC下方作等距离的直线n，直线n与抛物线交点即为点P，即可求解；

（3）分AM时斜边、AQ是斜边、MQ是斜边三种情况，分别求解即可．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

故﹣3a＝1，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）过点M作直线m∥AC，直线m与抛物线交点即为点P，

设直线m的表达式为：y＝﹣x+b，

点M（1，4），则直线m的表达式为：y＝﹣x+5，

联立方程组，

解得：x＝1（舍去）或2；

故点P的坐标为：（2，3）；

（3）设点Q的坐标为：（0，m），而点A、M的坐标分别为：（3，0）、（1，4）；

则AM2＝20，AQ2＝9+m2，MQ2＝（m﹣4）2+1＝m2﹣8m+17；

当AM时斜边时，则20＝9+m2+m2﹣8m+17，解得：m＝1或3；

当AQ是斜边时，则9+m2=20+ m2﹣8m+17，解得m＝；

当MQ是斜边时，则m2﹣8m+17=20+9+m2，解得m＝﹣，

综上，点Q的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，）或（0，﹣）