Question

10．若x₁、x₂是一元二次方程-2x²+3x+1=0的两个根，求下列代数式的值．
（1）$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
（3）（x₁-2）（x₂-2）
（4）|x₁-x₂|

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，再利用代数式变形得到（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4，|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
（1）（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{3}{2}$）²-4×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{17}{4}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{3}{2}）^{2}-2×（-\frac{1}{2}）}{-\frac{1}{2}}$=-$\frac{13}{2}$；
（3）（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=-$\frac{1}{2}$-2×$\frac{3}{2}$+4=$\frac{1}{2}$；
（4）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．