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    2．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发．沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=-x2+bx+c经过点O和点P．
    （1）求c．b（用t的代数式表示）：
    （2）抛物线y=-x2+bx+c与直线x=1和x=5分别交于M、N两点，当t＞1时，
    ①在点P的运动过程中，你认为sin∠MPO的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出sin∠MPO的值：
    ②是否存在这样的/值，使得MP∥ON？如果存在，求出t值：如果不存在，请说明理由：
    （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线在点O，P之间的部分与线段OP所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出t的取值范围．

    分析 （1）将点O（0，0），点P（t，0代入抛物线的解析式，然后解方程组即可；
    （2）①当x=1时，可证明AM=AP，从而得到∠PAM=45°；②要使MP∥ON，需满足∠PON=45°，即N（5，-5），然后将点N的坐标代入抛物线的解析式可得到关于t的方程，从而可求得t的值；
    （3）由（2）可知AM=AP，故此当2＜t＜3时，1＜M的纵坐标＜2，要使抛物线在点O，P之间的部分与线段OP所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，则只需要当x=2时，1≤y＜2即可．

    解答 解：（1）由题意可知，点O（0，0），点P（t，0），
    ∵抛物线y=-x2+bx+c经过点O和点P，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-{t}^{2}+bt=0}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=t}\\{c=0}\end{array}\right.$，
    ∴y=-x2+tx；
    （2）当t＞1时，
    ①sin∠MPO的大小不会变化；
    当x=1时，y=t-1，即M（1，t-1），即AM=t-1，AP=t-1，即AM=AP，∠PAM=45°，
    ∴sin∠MPO=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，是定值．
    ②存在；
    理由：如图1：∠OPM=45°，要使MP∥ON，需满足∠PON=45°，即N（5，-5），代入y=-x2+tx得-25+5t=-5．
    解得t=4．

    （3）如图2所示：

    由（2）可知AM=AP．
    ∴当2＜t＜3时，1＜M的纵坐标＜2．
    ∴要使抛物线在点O，P之间的部分与线段OP所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，则只需要当x=2时，1≤y＜2即可．
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{-4+2t≥1}\\{-4+2t＜2}\end{array}\right.$，解得：$\frac{5}{2}$≤t＜3．

    点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定、特殊锐角三角函数值，一元一次不等式组的应用，得到∠MPA=45°是解答问题（2）的关键，依据恰好有5个整点列出不等式组是解答问题（3）的关键．

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    （2）求y与x的函数解析式，并写出函数定义域；
    （3）当△ACQ是直角三角形时，求x的值．

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