Question

12．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD=AO，连接DO，若BD=BC，∠ABC=54°，则∠BCA的度数为42°．

Answer 1

分析 由△ABC三个内角的平分线得到角相等，关键等腰三角形的性质得到∠D=∠AOD，由外角的性质得到∠BAC=4∠D，由△DBO≌△CBO，得到∠BOC=∠D=α，
∠BCA=2α，根据三角形的内角和列方程求得．

解答 解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ABO=∠CBO，∠BAO=∠CAO，∠BCO=∠ACO，
∵AD=A0，
∴∠D=∠AOD，
∴∠BAO=2∠D，
设∠D=α，
则∠BAO=2α，∠BAC=4α，
在△DBO与△CBO中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BC}\\{∠DBO=∠CBO}\\{BO=BO}\end{array}\right.$
∴△DBO≌△CBO，
∴∠BCO=∠D=α，
∴∠BCA=2α，
∴54+4α+2α=180，
∴α=21，
∴∠BCA=42°，
故答案为：42．

点评 该题主要考查了全等三角形的判定、三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定等几何知识点．