Question

17．如图甲，平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD顶点A与原点重合，边AB、AD落在坐标轴上，在正方形内有AE=2，过点E作直线MN⊥AE交BC、CD分别于M、N，连接AM、AN．
（1）直接写出：∠MAN=45°△MCN的周长=4．
（2）若线段AE=2在正方形外（只考虑第三象限），请在图乙中作出相应的图形，探索线段BM、MN、DN三者之间的关系并给出证明．
（3）在图甲中，设BM=x，求△MCN的面积S与x之间的函数关系．

Answer 1

分析 （1）证得Rt△AEN≌Rt△ADN，Rt△ABM≌△AEN，得出∠EAN=∠DAN，∠BAM=∠EAM，EN=DN，ME=BM，得出∠MAN=45°，△MCN的周长=4；
（2）连接AM，证Rt△AEM≌Rt△ABM，连接AN，证Rt△AEN≌Rt△ADN，从而得DN=BM+MN；
（3）设出CN=m，利用（1）中的条件表示出CM，MN，进一步利用勾股定理求得m，进一步利用三角形的面积计算公式求得答案即可．

解答 解：（1）∠MAN=45°，△MCN的周长=4；
（2）如图，

连接AM，
在Rt△AEM和Rt△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEM≌Rt△ABM，
∴EM=BM，
在Rt△AEN和Rt△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEN≌Rt△ADN，
∴DN=NE=MN+ME=MN+BM，
即DN=BM+MN．
③∵Rt△AEN≌Rt△ADN，Rt△ABM≌△AEN，
∴EN=DN，ME=BM，
设BM=x，CN=m，
则MC=2-x，DN=2-m，
∴MN=2+x-m，
在Rt△CMN中，
（2-x）²+m²=（2+x-m）²，
解得：m=$\frac{4x}{x+2}$，
S_△MCN=$\frac{1}{2}$CM•CN=$\frac{1}{2}$（2-x）•$\frac{4x}{x+2}$=$\frac{4x（2-x）}{x+2}$，
即S=$\frac{1}{2}$CM•CN=$\frac{4x（2-x）}{x+2}$．

点评 此题考查四边形的综合题，综合考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及三角形的面积计算，正确做出辅助线，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．