Question

9．如图，在等腰△OAB中，OA=OB，以点O为圆心，作圆与底边AB相切于点C．
（1）求证：AC=BC；
（2）若AB=24，OC=9，求等腰△OAB的周长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，先根据切线的性质得OC⊥AB，然后根据等腰三角形的性质即可得到AC=BC；
（2）由（1）得AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=12，再在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OA=15，然后根据三角形周长定义求解．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
又∵△OAB为等腰三角形，
∴AC=BC；

（2）解：AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=12，
在Rt△AOC中，∵AC=12，OC=9，
∴OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=15，
∴等腰△OAB的周长=OA+OB+BC
=15+15+24
=54．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的性质．