Question

6．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S_{四边形DGCH}=S_{四边形DMCN}，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．

解答 解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=$\frac{1}{2}$AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则扇形FDE的面积是：$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMG=∠DNH}\\{∠GDM=∠HDN}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S_{四边形DGCH}=S_{四边形DMCN}=$\frac{1}{2}$．
则阴影部分的面积是：$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S_{四边形DGCH}=S_{四边形DMCN}是关键．