Question

如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），且过点D（5，-3），顶点为M，直线MD交x轴于点F。
（1）求a的值；
（2）以AB为直径画⊙P，问：点D在⊙P上吗，为什么？
（3）直线MD与⊙P存在怎样的位置关系？请说明理由。

Answer 1

解：（1）把D（5，-3）代入y=a（x-1） ²-得：；
（2），令y=0，得：x₁=-4， x₂=6，
∴A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10，
∵AB为⊙P的直径
∴P（1，0）
∴⊙P的半径r=5
过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，则E（5，0）
∴PE=5-1=4，DE=3，PD==5，
∴PD与⊙P的半径相等，
∴点D在⊙P上；
（3）设直线MD的函数解析式为：y=kx+b（k≠0）
把M，D（5，-3） 代入得：，
∴
∴ 直线MD的函数解析式为：
令y=0，则
得，
∴
∴
∴ DF²=EF²+DE²=

DP²=25
∴DP²+DF²=PF²
∴FD⊥DP
又∵点D在⊙P上
∴直线MD与⊙P相切。