Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为平面内一点，且∠BDC=90°，若BD=

2

，CD=2

2

，则AD=

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰直角三角形

专题：分类讨论

分析：作出图形，过点D作DE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，利用勾股定理列式求出BC，再根据等腰直角三角形的性质求出AF，利用三角形的面积求出DE，再求出EF，然后分A、D在BC的同侧和异侧两种情况，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△BCD中，BC=

BD2+CD2

=

( 2 )2+(2 2 )2

=

10

，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AF=BF=

1

2

BC=

10

2

，
S_△BCD=

1

2

×

10

•DE=

1

2

×

2

×2

2

，
解得DE=

2 10

5

，
所以，BE=

( 2 )2-( 2 10 5 )2

=

10

5

，
EF=

10

2

-

10

5

=

3 10

10

，
若点A、D在BC的同侧，则AD=

( 3 10 10 )2+( 10 2 - 2 10 5 )2

=1；
若点A、D在BC的异侧，则AD=

( 3 10 10 )2+( 10 2 + 2 10 5 )2

=3，
综上所述，AD的长为1或3．
故答案为：1或3．

点评：本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论．