Question

已知抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过点A（-1，0），它与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C．在直线x=1上求点M，使△AMC的周长最小，并求出△AMC的周长．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,二次函数的性质

专题：

分析：直线BC与对称轴直线x=1的交点即为所求使△PAC的周长最小的点M的坐标．

解答：解：∵抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）与y轴的交点为C．
∴C（0，-3）
∵A（-1，0），
∴点A关于直线x=1的对称点是点B（3，0）
连接BC，交对称轴于点M，则此时△AMC周长最小，
设直线BC的关系式为：y=mx+n，
把B（3，0），C（0，-3）代入y=mx+n得

3m+n=0 n=-3

，
解得

m=1 n=-3

．
∴直线BC的关系式为y=x-3，
当x=1时，y=1-3=-2，
∴M点坐标为（1，-2）；
∵BC=

OB2+OC2

=

32+32

=3

2

，AC=

11+32

=

10

，
∴△AMC的周长=3

2

+

10

；

点评：本题考查了抛物线的对称性，以及最短路线问题，根据对称性求得对称点的坐标是本题的关键．