Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+2x+3交x轴于A，点B的坐标为（0，-3），将线段AB绕平面某点旋转180°的线段CD，且点C、D正好落在抛物线y=-x²+2x+3的图象上，求点C、D的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：设旋转中心为（a，b），根据中心对称表示出点C、D的坐标，然后代入二次函数解析式求出a、b的值，即可得解．

解答：解：∵抛物线y=-x²+2x+3交x轴于A，
∴A（-1，0）或（3，0）
设旋转中心为（a，b），
∵线段AB绕平面某点旋转180゜得线段CD，
∴点C（2a+1，2b），D（2a，2b+3），
∵点C、D正好落在y=-x²+2x+3的图象上，
∴

2b=-(2a+1)2+2(2a+1)+3 2b+3=-(2a)+2×2a+3

，此方程组无解；
∴点C应该是（2a-3，2b），D（2a，2b+3），
∴

2b=-(2a-3)2+2(2a-3)+3 2b+3=-(2a)2+2×2a+3

，
解得

a=1 b=0

．
∴点C（3，0），D（2，3）．

点评：本题考查了坐标与图形变化-旋转，反二次函数图象上点的坐标特征，用旋转中心表示出点C、D的坐标是解题的关键．