Question

如图，△ABC内接于⊙O，D是AB边上一点，AB=6，AC=BD=4，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，若PB=

29

，求PA的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：证△PBD≌△PCA，推出PA=PD，求出AM=DM=1，根据勾股定理求出PM，再根据勾股定理求出PA即可．

解答：
解：过P作PM⊥AB于M，
∵P为弧BAC的中点，
∴PB=PC，
∵弧PA对圆周角∠PBD和∠PCA，
∴∠PBD=∠PCA，
在△PBD和△PCA中

PB=PC ∠PBD=∠PCA BD=AC

∴△PBD≌△PCA，
∴PD=PA，
∵PM⊥AB，
∴DM=AM，
∵AB=6，BD=4，
∴AD=2，
∴DM=AM=1，
在Rt△PMB中，PM=

PB2-BM2

=

( 29 )2-(4+1)2

=2，
在Rt△PMA中，由勾股定理得：PA=

PM2+AM2

=

22+12

=

5

．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的应用，题目比较典型，综合性比较强．