Question

对于二次函数y=ax²-（2a-1）x+a-1（a≠0），有下列结论：
①其图象与x轴一定相交；
②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；
③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；
④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．
其中所有正确的结论是

 

．（填写正确结论的序号）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：令y=0，解方程求出抛物线与x轴的两个交点坐标，从而判断出①④正确，利用抛物线的顶点坐标列式整理，再根据二次函数的增减性判断出②错误；消掉a即可得到顶点所在的直线，判断出③正确．

解答：解：令y=0，则ax²-（2a-1）x+a-1=0，
解得x₁=1，x₂=

a-1

a

，
所以，函数图象与x轴的交点为（1，0），（

a-1

a

，0），故①④正确；
当a＜0时，

a-1

a

＞1，
所以，函数在x＞1时，y先随x的增大然后再减小，故②错误；
∵x=-

b

2a

=-

-(2a-1)

2a

=1-

1

2a

，
y=

4ac-b2

4a

=

4a(a-1)-(2a-1)2

4a

=-

1

4a

，
∴y=

1

2

x-

1

2

，
即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y=

1

2

x-

1

2

上，故③正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的与x轴的交点，二次函数的增减性，顶点坐标，难点在于利用a表示出顶点的横坐标与纵坐标，然后消掉a得到顶点所在的直线．