【题目】如图,C为线段AE上一动点,(不与点A、E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交与点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.
求证:(1)AD=BE
(2)△APC≌△BQC
(3)△PCQ是等边三角形.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1) 根据等边三角形的三边都相等,三个角都是60°,可以证明△ACD与△BCE全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=BE;
(2) 根据ADC≌△BEC来证明;
(3)证明△CDP≌△CEQ,根据全等三角形对应角相等可得PC=CQ,从而得到△CPQ是等边三角形.
证明:(1)∵△ABC和△CDE是正三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠BCE=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE;
(2)∵ADC≌△BEC,
∴∠ACP=∠BCQ,AC=BC,∠CAP=∠CBQ,
∴△APC≌△BQC(ASA);
(3)∵CD=CE,∠DCP=∠ECQ=60°,∠ADC=∠BEC,
∴△CDP≌△CEQ(ASA).
∴CP=CQ,
∴∠CPQ=∠CQP=60°,
∴△CPQ是等边三角形.
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【题目】探究题
【问题提出】
已知任意三角形的两边及夹角(是锐角),求三角形的面积.
【问题探究】
为了解决上述问题,让我们从特殊到一般展开探究.
探究:在Rt△ABC(图1)中,∠ABC=90°,AC=b,BC=a,∠C=α,求△ABC的面积(用含a、b、α的代数式表示)
在Rt△ABC中,∠ABC=90°
∴sinα=
∴AB=bsinα
∴S△ABC= BCAB= absinα
(1)探究一:
锐角△ABC(图2)中,AC=b,BC=a,∠C=α(0°<α<90°)
求:△ABC的面积.(用含a、b、α的代数式表示)
(2)探究二:
钝角△ABC(图3)中,AC=b,BC=a,∠C=α(0°<α<90°)
求:△ABC的面积.(用含a、b、α的代数式表示)
(3)【问题解决】
用文字叙述:已知任意三角形的两边及夹角(是锐角),求三角形面积的方法
是
(4)已知平行四边形ABCD(图4)中,AB=b,BC=a,∠B=α(0°<α<90°)
求:平行四边形ABCD的面积.(用含a、b、α的代数式表示)
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【题目】我市某商场有甲、乙两种商品,甲种每件进价15元,售价20元;乙种每件进价35元,售价45元.
(1)若商家同时购进甲、乙两种商品100件,设甲商品购进x件,售完此两种商品总利润为y 元.写出y与x的函数关系式.
(2)该商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件,则至少要购进多少件甲种商品?若售完这些商品,商家可获得的最大利润是多少元?
(3)“五一”期间,商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动,小王到该商场一次性付款324元购买此类商品,商家可获得的最小利润和最大利润各是多少?
打折前一次性购物总金额 | 优惠措施 |
不超过400元 | 售价打九折 |
超过400元 | 售价打八折 |
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【题目】如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,点O为BD的中点,且AO平分∠BAC.
(1)求证:CO平分∠ACD;
(2)求证:OA⊥OC;
(3)求证:AB+CD=AC.
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【题目】第一中学组织七年级部分学生和老师到苏州乐园开展社会实践活动,租用的客车有50座和30座两种可供选择.学校根据参加活动的师生人数计算可知:若只租用30座客车x辆,还差5人才能坐满;
(1)则该校参加此次活动的师生人数为 (用含x的代数式表示);
(2)若只租用50座客车,比只租用30座客车少用2辆,求参加此次活动的师生至少有多少人?
(3)已知租用一辆30座客车往返费用为400元,租用一辆50座客车往返费用为600元,学校根据师生人数选择了费用最低的租车方案,总费用为2200元,试求参加此次活动的师生人数.
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【题目】探究题
问题再现:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
例如:利用图形的几何意义证明完全平方公式.
证明:将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形,如图1:
这个图形的面积可以表示成:
(a+b)2或a2+2ab+b2
∴(a+b)2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式.
(1)类比解决:
请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)
(2)问题提出:如何利用图形几何意义的方法证明:13+23=32?
如图2,
A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:13+23=(1+2)2=32
尝试解决:
请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:13+23+33= . (要求写出结论并构造图形写出推证过程).
(3)问题拓广:
请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3= . (直接写出结论即可,不必写出解题过程)
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【题目】如图,射线OP过Rt△ABC的边AC、AB的中点M、N,AC=4cm,BC=4 cm,OM=3cm.射线OP上有一动点Q从点O出发,沿射线OP以每秒1cm的速度向右移动,以Q为圆心,QM为半径的圆,经过t秒与BC、AB中的一边所在的直线相切,请写出t的所有可能值(单位:秒)
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