Question

3．抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，点M是直线BC与EF的交点，点P是抛物线上一动点，PN∥EF交BC于点N，当点P的坐标为（2，3），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）时，以P，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）由y=-x²+bx+c经过点A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令-x²+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），即可求得PD的长，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，即可得S_△BDC=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）首先求出EM的长，利用平行四边形的性质分别利用当N′P′=2时以及PN=2时求出即可．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）令-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
则$\left\{\begin{array}{l}{b′=3}\\{3k+b′=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b′=3}\end{array}\right.$，
故直线BC的解析式为y=-x+3，
设P（a，3-a），则D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
=$\frac{1}{2}$PD•a+$\frac{1}{2}$PD•（3-a）
=$\frac{1}{2}$PD×3
=$\frac{3}{2}$（-a²+3a）
=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，△BDC的面积最大，此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）如图2所示：
y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
则E（1，4），
直线BC的解析式为y=-x+3，
则x=1时，y=2，
即EM=2，
当PN=2，P（x，-x²+2x+3），N（x，-x+3），
则-x²+2x+3-（-x+3）=2，
解得：x₁=1（不合题意舍去），x₂=2，
则-x²+2x+3=3，即P（2，3）；
当N′P′=2，P′（x，-x²+2x+3），N′（x，-x+3），
则（-x+3）-（-x²+2x+3）=2，
解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
则-x+3=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
即P（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），
综上所述：符合题意点的坐标为：（2，3），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．
故答案为：（2，3），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．

点评 此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题以及平行四边形的判定与性质的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．