Question

18．如图，过原点O的⊙C与两坐标轴分别交于点A（-4，0）、B（0，-3），在第三象限的⊙C上有一点P，过点P作弦PQ∥x轴，且PQ=3，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$过点P，则k的值是$\frac{49}{4}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先运用垂径定理、勾股定理分别求出AB、AM、PN的长度；再次运用勾股定理求出CM、CN的长度，得到点P的坐标，代入函数关系式y=$\frac{k}{x}$，求出k即可解决问题．

解答 解：如图，连接AB、CP；
由题意得：OA=4，OB=3；
过点C作直线MN⊥x轴，交PQ于点N；
则AM=MO=2，PN=QN=1.5；
∵∠AOB=90°，
∴AB=5，AB为⊙C的直径；
∴CA=CP=2.5；
由勾股定理得：CM=1.5，CN=2，
∴点P的坐标为（3.5，3.5），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$过点P，
∴k=$\frac{7}{2}×\frac{7}{2}$=$\frac{49}{4}$，
故答案为$\frac{49}{4}$．

点评 该题主要考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用圆周角定理、勾股定理等知识点来分析、判断、解答．